ГЕОМЕТРИЯНЫ ҚАШАНҒЫ «ЕЖЕЛГІ МЫСЫРЛЫҚТАРША» ОҚЫТАМЫЗ?

Математиканы оқып-үйрену дегеніміз – алдымен математикалық ұғымдарды қалыптастырып, оларды терең танымдық дәрежеге жеткізуден, осы ұғымдардың арасындағы қатыстарды, заңдылықтарды анықтап, дәлелдеуден және оларды нақтылы іс-әрекетте, есептер шығаруда қолдана білуден тұрады. Мұның алғашқысы және маңыздысы ұғымдарды дәл анықтау екенін, әлемнің Екінші ұстазы әл-Фарабидің: «Затты түсінудегі ең толық дүние оның анықтамасы болып табылады. Адам туралы «ол сауда жасауға, сату мен сатып алуға жарамды хайуан» дейтін болсақ, осы сөйлем адамның анықтамасы болады, бірақ ол адамды анықтамайды» дегенінен анық түсінуге болады. Дегенмен, қазіргі көпшілік ғалымдардың, геометрия оқулықтарының авторларының осыған жеткілікті назар аудара бермейтіні анық байқалып жүр. 

Жарты ғасырдай мектепте қызмет еткен мұғалім ретінде, осы мәселені басқа басылымдарда да көптен бері сөз етіп келдім. Бірақ оқулықтардағы ұғымдарды анықтауда орын алып жүрген қателер бұрынғыдан азаймай келеді. Енді осы кемшіліктердің орын алуының және олардың ұзақ уақыттар бойы түзетілмеуінің себептеріне талдау жасайық.

Математиканың даму тарихынан геометрияның бастапқы түсініктері ежелгі Мысыр елінде осыдан 4-5 мың жылдар бұрын қалыптасып, кейбір заңдылықтарының анықталғанын білеміз. Дегенмен, ол кезде геометриялық ұғымдарға анықтама тұжырымдау, геометриялық заңдылықты дәлелдеу үрдісі болмады. Оқымыстылар оларды пратикалық іс-әрекеттерде пайдаланумен ғана шектелді.

    Геометрияның ғылым болып қалыптасуы б.д.д. VII-VI ғасырлардан – Фалес (б.д.д. VII ғ) және Пифагорлардың (б.д.д. 580-500 ж.ж.) заманынан басталды. Ең алғашқы көлемді геометриялық еңбекті б.д.д. V ғасырдың екінші жартысында ежелгі грек математигі, әрі астрономы Гиппократ Хиосский жазды. Бұл жұмыс «Негіздер» (грекше – әліпби) деп аталды. Алайда оның бұл еңбегі біздің заманымызға жеткен жоқ. 

    Евклид (б.д.д. 330-275 жж.) өзіне дейін қолданылған геометриялық дүниелерді жинастырып, оларды тәртіпті жүйеге келтіріп, ғылыми анықтаулар мен аксиомаларды қолдана отырып, латынша «Элементтер», орысша «Начало» деп аталатын үлкен еңбек жазып шықты. Бұл еңбек қазақша «Негіздер» және «Бастамалар» деп аталып жүр. 

    Сол замандардағы математиктер жұмыс барысында, өзіне күмәнділеу көрінетін нәрсеге жолықса, міндетті түрде Евклидтің еңбегіне жүгінетін еді. Өйткені, олар Евклидті математикалық қатаң тұжырымның үлгі эталоны, геометриялық даналықтың энциклопедиясы деп білді.

   Сондықтан да Евклидтің «Бастамаларындағы» мына анықтамалар мыңдаған жылдар бойы ешбір талқылаусыз, күмәнсыз қолданылып келді:

Ешқандай бөлігі жоқ нәрсе – нүкте.

Ені жоқ ұзындық – сызық.

Сызықтың шеті – нүкте.

Тек ұзындығы мен ені ғана бар нәрсе – бет.

Беттің шеті – сызық.

Бір нәрсенің шеті болатындар – шекара.

Қандай да бір немесе бірнеше шекараның ішінде болатын нәрсе – фигура.

           «Бастамалар» екі жарым мың жыл ішінде дүние жүзінің түрлі тілдерінде 460 рет қайта басылып шықты. Мұндай үздіксіз және ұзақ пайдаланылған кітап адам баласының тарихында кездеспеді деуге болады.

Оқымыстылардың жалпы математикалық ұғымдарға қатаң анықтама беруді XIX ғасырда ғана қолға ала бастағанын орыстың педагог-математигі Н.Я.Виленкин өзінің «Жиындар туралы әңгімелер» атты кітабында былай баяндайды. «XVII және XVIII ғасырларда өмір сүрген Ньютонның, Лейбництің, Эйлердің, Лагранждың және басқа ұлы ғалымдардың еңбектеріне негізделген дифференциалдық және интегралдық есептеулерді пайдаланып, артиллерия снарядының траекториясын есептеуден бастап, планеталар мен кометалардың қозғалыстарын алдын ала болжауға дейінгі әртүрлі есептерді шешу мүмкін болды. Бірақ бұл тамаша нәтижелерге жетуге себепші болған негізгі ұғымдардың анықтамалары қатаң емес еді.  

XIX ғасырдың математиктері сол уақытқа дейінгі қолданылып келген ұғымдарды қатты сынға алып, математиканы қатаң анықтамаларға негіздеп қайта құруға кірісті. Көрнекілікке сүйену деген қалып, оның орнына қатаң логика талап етілді».

Виленкиннің осы жердегі: «Евклидтің беделі екі мың жыл бойы мызғымай сақталып келді. Евклидтің қандай да бір пікіріне күмән келтірудің өзі сол адамның математика саласындағы атақ-абыройынан жұрдай болғаны деген сөз еді», – дегенінен, бұрынғыларды былай қойғанда, қазіргі күнгі геометрия оқулықтарындағы көптеген ұғымдардың анықтамаларының осы күнге дейін дәл тұжырымдалмауының негізгі себебін аңғарғандай боламыз. Ол себеп – оқулық жазушы ғалымдардың көбіне ғылымдағы беделдерге жүгінуі, яғни беделге көзсіз сенуі болса керек.  

Ғылымдағы бедел туралы әл-Фараби де: «Беделді [адам] дегеніміз , егер ол бір мәселе хақында пікір айтса, оның пікірі даусыз қабылданады және тексеруді қажет етпейді. Тіпті, ешқандай дәлелдемемен негізделмесе де, оның айтқаны қабылданады», – депті.

Қоршаған ортаның сырларын, ғылым жұмбақтарын көпшілікке түсінікті тілде жеткізудің шебері болып танылған ғалым В.Р.Келердің пайымынша: «Ақиқатты іздестірудің кеңінен тараған бір әдісі – беделге жүгіну. Сонымен қатар беделге жүгіну әдісінің мейлінше қолайсыз жағы да бар. Оның негізгі кемшілігі – білуге құштар адамды ұстазының ғана пікірі бойынша дұрыс деп саналатын білім шеңберінен шығармай, әрқашан тәуелді етіп ұстайтындығында. Беделге жүгіну көбіне адамның творчестволық ой-өрісін тежеп, «бас қатырып ойлануға» мүмкінік бермей қояды».

Еліміздің бүгінгі күнгі математика пәні мұғалімдері де көптен бері геометрия сабақтарында осы беделге жүгінудің зиянын көріп келеді. Өткен ғасырдың сексенінші жылдарының ортасынан осы ғасырдың басына дейін мектептегі геометрия пәнінің орыс академигі А.В.Погореловтың оқулығымен оқытылғаны белгілі. Онда геометрияның ең негізгі және қарапайым ұғымдарының бірі үшбұрыштың анықтамасы: «Үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын үш нүктеден және осы нүктелерді қос-қостан қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны атайды», – деп тұжырымдалған болатын.      

Орыс академигінің беделіне құдайдай сенген еліміздің математиктері бүгінгі күнге дейін үшбұрышты дәл осылай танып, қолданып келеді. Атап айтсақ, еліміздің тәуелсіздік алуымен жалғаса, 1993 жылы оқулық жазған Ж.Юсупов, С.Чакликова, Ғ.Қалдыбаева, Ж.Нұрпейісовтер Погореловтың оқулығындағы осы анықтамадағы қатені түзетуді «ұмытып кетті».    

2003 жылдан бастап 7-сыныпқа оқулық жазған К.Бүкүбаева, А.Миразова, Қ.Ағаниналар, сол сияқты Ә.Шыныбеков өздерінің оқулықтары қашан қолданыстан шығып қалғанға дейін, үшбұрыш ұғымын сол баяғы погореловше түсіндірулерінен танбады.  

Бұрынғыларды былай қойғанда, 2017 жылы жаңартылған бағдарламамен оқулық жазған әкелі-балалы Ә.Шыныбеков пен Д.Шыныбековтер: «Бір түзу бойында жатпайтын үш нүкте белгілеп, оларды кесінділермен қосамыз (1.28-сурет). Шыққан геометриялық фигураны үшбұрыш деп атаймыз» десе (Геометрия -7, – Алматы: «Атамұра, 2017), Е.А.Тұяқов пен Ресей академигі В.А.Смирнов: «Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктеден және оларды қос-қостан қосатын үш кесіндіден құрылған фигура үшбұрыш деп аталады» (Геометрия-7, – Алматы: «Мектеп», 2017), – деп жүр. Осы жерде, жоғарыда аталған оқулықтардағы үшбұрыштың анықтамаларының сөзбе-сөз болмаса да, мазмұндарының Погореловтың анықтамасымен бірдей екенін ерекше ескергеніміз жөн.

Енді, осыдан қырықшақты жыл бұрын А.Погорелов тұжырымдап, содан біздің ғалымдарымыз оқулықтарына көшіріп алып келе жатқан үшбұрыштың анықтамасына талдау жасайық. Жоғарыдағы анықтамадан Погореловтың үшбұрышты «үш кесіндіден тұратын фигура» деп түсінетінін байқау қиын емес. Ал қай ғылымдағы болсын, ұғымдар бір-бірімен үйлесімді болуы тиіс. Геометрия ғылымында «үшбұрыш» ұғымымен қатар «үшбұрыштың ауданы» ұғымының да қолданылатыны белгілі. Егер Погореловтың пайымдағанындай, үшбұрыш «үш кесіндіден тұратын фигура» болса, онда «үш кесіндінің ауданын табу» деген әңгіме ақылға қалай сыяды? Олай болса, академиктің бұл анықтамасы да ешбір мәні жоқ, жалған тұжырым болғаны. Тіпті, оның бұл тұжырымын ғылыми ұғымның анықтамасы деуге де болмайды. Өйткені, академик бұл жерде ғылыми ұғымға анықтама тұжырымдаудың шарт-талаптарын білмегендіктен, үшбұрыштың қағаз бетіндегі сызбасына қарап, оны өзінің тілінің жеткенінше жай сөздермен суреттеп шыққанын көреміз. 

Ғұлама ғалым, беделді академик бұл жерде «тұйықталған үшбуынды сынық» ұғымын «үшбұрыш» ұғымымен шатастырып алып отыр. Бұл екі ұғымның, геометриядағы «шеңбер» мен «дөңгелек» ұғымдары сияқты үлкен айырмашылықтары бар емес пе? Логикада, осы сияқты бір ұғымды басқа ұғыммен шатастырып алу қателігін «паралогизм» деп атайды. Қай кезде болсын, паралогизм қателігі кісінің қарастырып отырған мәселені толық білмегендігінен туындайды.

Сонымен, біз бұл жерде Погореловтың анықтамасының қате тұжырымдалғанын толық ашып көрсеттік деп ойлаймыз. Олай болса, үшбұрышты погореловше анықтап жүрген жоғарыда аталған ғалымдардың оқулықтарындағы тұжырымдардың барлығы да дұрыс болмағаны ғой. Онда, бұл қате геометрия оқулықтарының келесі басылымында түзетілуі керек дейміз. Бұл ұсынысымды оқулық авторлары Ә.Шыныбеков пен Е.Тұяқовтың әрқайсысына жеке де айтқанмын.  

Кейінгі кездері Ресей мектептеріне оқулық жазған С.А.Козлова, А.Г.Рубин және В.А.Гусевтер: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, трех отрезков, попарно соединяющих эти точки, а также части плоскости, ограниченной этими отрезками» деген анықтама тұжырымдап, Погореловтың анықтамасындағы қатені біршама түзеткендей болды (Геометрия. 7-9 кл. – М.: Баласс, 2013). Дегенмен, бұл анықтаманы да логикалық қатаң анықтама дей алмаймыз, бұндағы қателіктерді осымен мазмұндас төмендегі анықтамадан көрсетеміз.

 Еліміздің тәуелсіздігінен кейін геометрия оқулықтарын жазған ғалымдар бірнеше ондап саналады. Солардың ішіндегі Ж.Қайдасов, Г.Досмағанбетова және А.Абдиевтер ғана, басқалар сияқты үшбұрышты «үш кесіндіден тұратын фигура» демей, жазықтықтың бөлігі ретінде қарастырды. Олар: «Бір түзуде жатпайтын үш нүкте мен осы нүктелерді қосатын үш кесіндіден және сол кесінділермен шектелген жазықтықтың бөлігінен тұратын фигураны үшбұрыш деп атайды», - деді ( Геометрия-7. «Мектеп» 2012).  

Бұл анықтамада үшбұрыштың мәні дұрыс көрсетілгенімен, онда логикалық қателіктердің барын айтпауға болмайды. Әрбір ұғымның анықтамасында анықталушы ұғыммен бірге анықтаушы ұғымдар да қолданылады. Логикалық қатаң анықтама тұжырымдау үшін, ондағы анықтаушы ұғымның санының мүмкіндігінше аз болғаны жөн. Мысалы, осы анықтамадағы «үш нүкте» және оларды қосатын «үш кесінді» ұғымдарын бір ғана «тұйықталған үшбуынды сынық» ұғымымен ауыстыруға болар еді ғой. Оның үстіне, бұндағы «фигура» сөзінің де басы артық. Сол сияқты, «тұратын», «құралған», «құрылған» сияқты қазақы сөздердің орнына «бірігу» сөзін қолдансақ, оқушылардың ғылыми сөздік қоры толыға түседі. 

Сөздің реті келіп тұрғанда, қазіргі ғалымдардың (біздің елдің ғана емес) үшбұрышты анықтау үшін жазықтықтағы үш нүктені, төртбұрышты анықтау үшін төрт нүктені «теріп» кетуді «модаға» айналдырып алғанын да айта кеткеніміз жөн.  

Ал біз, қырықшақты жылдан бері оқыту үдерісінде: «Тұйықталған үшбуынды сынық пен жазықтықтың осы сынықпен шектелген бөлігінің бірігуі үшбұрыш деп аталады» деген анықтаманы қолданып келдік.

Үшбұрыштың осы анықтамасын қолданудың дұрыс болатынын бұған дейін де баспа бетінде бірнеше рет айтқанмын. Сол кезде К.Бүкүбаева мен А.Миразова: «Жоғарыда келтірілген екі анықтамада да «бірігу» ұғымы қолданылған. (Менің сол мақалада үшбұрыш пен төртбұрышқа берген анықтамаларымды айтып отыр – Қ.І). Жиындар теориясының негізгі ұғымдарының бірі болып табылатын бұл ұғым мектеп геометриясы оқулықтарында кейінгі отыз алты жыл бойы қолданылмайды», - деп білгіштіктерін көрсеткен еді («Жас Алаш» газеті, №58. 23.07.2015). Менімше, ғалымдардың бұл сөзі шындыққа еш жанаспайды. Өйткені, «бірігу» ұғымы оқу бағдарламасына ең алғаш енгеннен бері қолданыстан шыққан емес. 

Оқулық авторлары Ә.Шыныбеков пен Р.Жұмабаев және В.Смирнов пен Е.Тұяқовтар, тікелей министрліктің тапсырмасымен жеке менің өзіме жазған жауап-хаттарында, үшбұрыштың анықтамасында «сынық» ұғымы қолданылғандықтан, 7-сынып оқушыларының бұл анықтаманы түсінуі қиындайды деген сияқты сылтауларын айтты.

Қазіргі күні 2-сыныптың оқушыларына жиын, жиындардың бірігуі мен қиылысуы; сынық, тұйықталған сынық, тұйықталмаған сынық т.с.с. ұғымдар оқытылып жүргенде, жоғарыдағы ғалымдардың әңгімелері «ертегі» болып қалмай ма? Бұл сөздерімен олар өздерінің геометрияның орта мектептегі бағдарламасымен таныс еместіктерін көрсетіп алып отыр. Мектепке оқулық жазған кісі сол сыныптың оқушысының мінезін, тілін, біліктілік деңгейін бес саусағындай білуі керек. Бұл талаптардың бірі нашар орындалса, ғұлама ғалым жазған оқулықтың да сапалы болмайтынын көріп жүрміз. Ал «оқулық – даналыққа апаратын жолдың бастамасы» (А.Байтұрсынұлы).

Геометрия оқулықтарындағы қателер жалғыз үшбұрыштың анықтамасымен шектелмейді, оларда бұдан да басқа, бірнеше мыңдаған жыл бұрынғы қате түсініктер бар. Олай болса, геометрияны қашанғы ескі пайымдармен оқытамыз?

 

Қалмырза ІЗТІЛЕУҰЛЫ,

геометриялық екі жаңа ұғым мен бірнеше теореманың авторы.

Шымкент.